Question

【題目】如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．

（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：證明：連接交于點，

則為的中點．又是的中點，

連接，則．

因為平面，平面，

所以平面．

（2）由，可得：，即

所以

又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系， 則，

設平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，

同理可得平面的一個法向量為，

則

所以二面角的余弦值為.