Question

【題目】如圖，三棱柱中，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）若，直線與平面所成角為，為的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）過點C作CO⊥AA1，則CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推導出Rt△AOC≌Rt△BOC，從而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能證明AA1⊥BC．

（2）以O為坐標原點，OA，OB，OC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．

（1）過點作，垂足為，

因為平面平面，

所以平面，故，

又因為，，，

所以，故，

因為，所以，

又因為，所以平面，故.

（2）以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

因為平面，

所以是直線與平面所成角，

故，

所以，，

，，，，，，

設平面的法向量為，則

，所以，

令，得，

因為平面，

所以為平面的一條法向量，

，

，

所以二面角的余弦值為.