Question

已知等比數列{a_n}中，a1+a3=10，a4+a6=

5

4

(n∈N*).
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）試比較

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

與2lg2的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出公比和首項，根據所給的兩個式子列出關于公比和首項的方程組，解方程組求出公比和首項，寫出要求的等比數列的通項公式，解方程組時用兩式相除，這是等比數列特殊的地方．
（2）要比較兩個式子的大小關系，一般采用做差法，比較差和零的關系，根據上式求出的通項和對數的性質，整理變化，構造新函數，新函數的最大值小于等于零，得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，則根據條件得

a1+a1q2=10 a1q3+a1q5= 5 4 .

即

a1(1+q2) =10① a1q3(1+q2) = 5 4 ②

②÷①得q3=

1

8

，所以q=

1

2

.
代入①解得a₁=8．
∴an=a1qn-1=8•(

1

2

)n-1)=(

1

2

)n-4.
（Ⅱ）∵

lgan+1+lgan+2++lga2n

n2

-2lg2
=

(n-3)lg 1 2 +(n-2)lg 1 2 ++(2n-4)lg 1 2

n2

-2lg2
=

(n-3)+(n-2)++(2n-4)

n2

lg

1

2

-2lg2
=

n[(n-3)+(2n-4)]

2n2

lg

1

2

-2lg2
=(

3

2

-

7

2n

)lg

1

2

-2lg2=-

3

2

lg2+

7

2n

lg2-2lg2=

7

2n

lg2-

7

2

lg2=

7

2

(

1

n

-1)lg2，
設g(n)=

7

2

(

1

n

-1)lg2，
∵g（n）是關于n的減函數，
∴g（n）≤g（n）|_max=g（1）（n∈N^*）．
即

7

2

(

1

n

-1)lg2≤

7

2

(

1

n

-1)lg2|max=

7

2

(

1

1

-1)lg2=0.
∴

lgan+1+lgan+2++lga2n

n2

≤2lg2.

點評：數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要的地位．高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏．解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區分度．