Question

【題目】已知圓F1：（x+1）2+y2=1，圓F2：（x﹣1）2+y2=25，動圓P與圓F1外切并且與圓F2內切，動圓圓心P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若曲線C與x軸的交點為A1 ， A2 ， 點M是曲線C上異于點A1 ， A2的點，直線A1M與A2M的斜率分別為k1 ， k2 ， 求k1k2的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，F1（﹣1，0），F2（1，0），
設P（x，y），動圓P的比較為r，則|PF1|=1+r，|PF2|=5﹣r，
∴|PF1|+|PF2|=6，
∴動圓圓心P的軌跡是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）為焦點，長軸長為6的橢圓，
則b2=a2﹣c2=9﹣1=8，
于是曲線C的方程為：+=1；
（Ⅱ）由（I）可知A1（﹣3，0），A2（3，0），
設M（x，y），則+=1，
于是k1k2====﹣；

【解析】（Ⅰ）通過設P（x，y）、動圓P的比較為r，利用圓與圓的位置關系可知|PF1|=1+r、|PF2|=5﹣r，進而化簡可知動圓圓心P的軌跡是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）為焦點、長軸長為6的橢圓，計算即得結論；
（Ⅱ）通過（I）可知A1（﹣3，0）、A2（3，0），通過設M（x，y），利用+=1及k1k2=化簡計算即得結論.