Question

定義在D上的函數，如果滿足：，常數，都有≤M成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.

（Ⅰ）試判斷函數在[1，3]上是不是有界函數？請給出證明；

（Ⅱ）若已知質點的運動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，當時，.

∴在[1，3]上是增函數.

    ∴當時，≤≤，即 -2≤≤26.

    ∴存在常數M=26，使得，都有≤M成立.

故函數是[1，3]上的有界函數.

（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1

∴ 

    令，則.

     當時，有，

∴在[0，+∞上單調遞減.  

故當t=0 時，有；

又，當t→+∞時，→0，

∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；

故所求a的取值范圍為0≤a≤1.