分析：（I）函數f（x）=x
3+
在（0，+∞）上有下界32．利用導數或基本不等式求極小值能夠進行判斷．
（Ⅱ）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數B，都有f（x）≤B成立，則稱函數f（x）在D上有上界，其中B稱為函數的上界．利用函數
f(x)=x3+在（-∞，0）上有下界及其奇偶性即可得出結論；
（Ⅲ）求導
f′(x)=3ax2-，利用導數研究其單調性，再對字母m的值進行分類討論，即可得到函數
f(x)=ax3+是[m，n]上的有界函數．
解答：解：（Ⅰ）
解法1：∵
f′(x)=3x2-，由f'（x）=0得
3x2-=0，x
4=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-----------------------------（2分）
∵當0＜x＜2時，f'（x）＜0，∴函數f（x）在（0，2）上是減函數；
當x＞2時，f'（x）＞0，∴函數f（x）在（2，+∞）上是增函數；
∴x=2是函數的在區間（0，+∞）上的最小值點，
f(x)min=f(2)=8+=32∴對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，------------------------------------（4分）
即在區間（0，+∞）上存在常數A=32，使得對?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數
f(x)=x3+在（0，+∞）上有下界．-----------------------------（5分）
[解法2：∵x＞0∴
f(x)=x3+=x3+++≥4=32當且僅當
x3=即x=2時“=”成立
∴對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在區間（0，+∞）上存在常數A=32，使得對?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數
f(x)=x3+在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：
定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數B，都有f（x）≤B成立，則稱函數f（x）在D上有上界，其中B稱為函數的上界．------------------------------（7分）
設x＜0，則-x＞0，由（Ⅰ）知，對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函數
f(x)=x3+為奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32
即存在常數B=-32，對?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函數
f(x)=x3+在（-∞，0）上有上界．----------------------------（9分）
（Ⅲ）∵
f′(x)=3ax2-，
由f'（x）=0得
3ax2-=0，∵a＞0，b＞0
∴
x4=，∵[m，n]?（0，+∞），∴
x=，--------------------------------（10分）
∵當
0＜x＜時，f'（x）＜0，∴函數f（x）在（0，
）上是減函數；
當
x＞時，f'（x）＞0，∴函數f（x）在（
，+∞）上是增函數；
∴
x=是函數的在區間（0，+∞）上的最小值點，
f()=a()3+=------------------------------（11分）
①當
m≥時，函數f（x）在[m，n]上是增函數；
∴f（m）≤f（x）≤f（n）
∵m、n是常數，∴f（m）、f（n）都是常數
令f（m）=A，f（n）=B，
∴對?x∈[m，n]，?常數A，B，都有A≤f（x）≤B
即函數
f(x)=ax3+在[m，n]上既有上界又有下界-------------------------（12分）
②當
n≤時函數f（x）在[m，n]上是減函數
∴對?x∈[m，n]都有f（n）≤f（x）≤f（m）
∴函數
f(x)=ax3+在[m，n]上有界．-------------------------（13分）
③當
m＜＜n時，函數f（x）在[m，n]上有最小值f（x）
min=
f()=a()3+=令
A=，令B=f（m）、f（n）中的最大者
則對?x∈[m，n]，?常數A，B，都有A≤f（x）≤B
∴函數
f(x)=ax3+在[m，n]上有界．
綜上可知函數
f(x)=ax3+是[m，n]上的有界函數--------------------（14分）
（2007•揭陽二模）已知函數f（x）=logax（a＞0，a≠1）的圖象如右圖示，函數y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱，則函數y=g（x）的解析式為（ ）