Question

（附加題-選做題）（幾何證明選講）
如圖，圓O與圓O₁外切于點P，一條外公切線分別切兩圓于A、B兩點，AC為圓O的直徑，T為圓O₁上任點，CT=AC．求證：CT為圓O₁的切線，切點為T．

Answer 1

分析：設圓O的半徑為r，圓O₁的半徑為R（R＞r）過點O₁作O₁E⊥AC，垂足為E，利用O₁E²=AB²=（R+r）²-（R-r）²=4Rr，連接O₁C，推出三角形O₁CT為直角三角形，即可證明本題．

解答：證明：設圓O的半徑為r，圓O₁的半徑為R（R＞r）過點O₁作O₁E⊥AC，垂足
為E，則O₁E²=AB²=（R+r）²-（R-r）²=4Rr
連接O₁C，則O₁C²=O₁E²=C₁E²=4Rr+（2R-r）²=4R²+r²
因為CT²=AC²=4r²，O₁T²=R²
所以O₁C²=CT²+O₁T²，
所以三角形O₁CT為直角三角形，
O₁T⊥TC所以CT為圓O₁的切線，切點為T

點評：本題是中檔題，考查兩個圓的位置關系，考查轉化思想，計算推理能力，勾股定理的應用．