Question

附加題選做題D．（不等式選講）
設正實數a，b滿足a²+ab^-1+b^-2=3，求證：a+b^-1≤2．

Answer 1

分析：由a²+ab^-1+b^-2=3得ab^-1=（a+b^-1）²-3，a，b為正實數，由a+b-1≥2

ab-1

，即可得證．

解答：證明：由a²+ab^-1+b^-2=3得ab^-1=（a+b^-1）²-3，…3分
又正實數a，b滿足a+b-1≥2

ab-1

，
即ab^-1≤

(a+b-1)2

4

，（當且僅當a=b時取“=”）                …6分
所以（a+b^-1）²-3≤

(a+b-1)2

4

，即證a+b^-1≤2．              …10分

點評：本題考查基本不等式，難點在于對a+b-1≥2

ab-1

的分離與應用，屬于中檔題．