Question

【題目】如圖4，四邊形為正方形，平面，，于點，，交于點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由平面，得到，再由四邊形為正方形得到，從而證明平面，從而得到，再結合，即以及直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）先證明、、三條直線兩兩垂直，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.

試題解析：（1）平面，

，又，，

平面，

，又，

平面，即平面；

（2）設，則中，，又，

，，由（1）知，

，，

，又，

，，同理，

如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標系，則，

，，，，

設是平面的法向量，則，又，

所以，令，得，，

由（1）知平面的一個法向量，

設二面角的平面角為，可知為銳角，

，即所求.