Question

已知直線y=-2上有一個動點Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點P在直線l上，且

OP

⊥

OQ

，記點P的軌跡為C₁，
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設直線l與x軸交于點A，且

OB

=

PA

(

OB

≠0)，試判斷直線PB與曲線C₁的位置關系，并證明你的結論；
（3）已知圓C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交點處的切線相互垂直，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先設P點坐標，進而得出Q點坐標，再根據OP⊥OQ 得到∴

OP

•

OQ

=0，從而得解．
（2）先求直線PB的方程，再代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，利用△=4x₀²-8y₀=0，可得直線PB與曲線C₁相切．
（3）分別求出在C₁上N點處切線的斜率為，C₂上過N點的半徑的斜率，利用C₁、C₂在交點處的切線相互垂直，可建立方程，再利用點在圓上可解，

解答：解：（1）設點P的坐標為（x，y），則Q（x，-2），
∵

OP

⊥

OQ

∴

OP

•

OQ

=0…（2分）
∴x²-2y=0，
當x=0時，P、O、Q三點共線，不符合題意，故x≠0．
∴曲線C的方程為x²=2y（x≠0）．
（2）設點P的坐標（x₀，y₀），∴A（x₀，0）∵

OB

=

PA

∴

OB

=(0，-y0)
∵

OB

≠0∴直線PB的斜率k=

2y0

x0

…（5分）
∵x₀²=2y₀∴k=x₀∴直線PB的方程為y=x₀x-y₀…（6分）
代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，∵△=4x₀²-8y₀=0
∴直線PB與曲線C₁相切．…（7分）
（3）不妨設C₁、C₂的一個交點為N（x₁，y₁），C₁的方程為y=

1

2

x2
則在C₁上N點處切線的斜率為y′=x₁．C₂上過N點的半徑的斜率為k=

y1-a

x1

x1=

y1-a

x1

，
又y1=

1

2

x12，得y₁=-a，x₁²=-2a…（10分）
∵N（x₁，y₁）在圓C₂上，∴-2a+4a²=2，∴a=-

1

2

或a=1
∵y₁＞0∴a＜0，∴a=-

1

2

…（12分）

點評：本題的考點是曲線與方程，主要考查直接法求軌跡方程，考查直線與曲線的位置關系，關鍵是利用直線與方程組成方程組，從而利用方程的思想研究．