Question

已知直線y=-2上有一個動點Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點P在直線l上，且⊥，記點P的軌跡為C₁.

(1)求曲線C₁的方程.

(2)設直線l與x軸交于點A，且=(≠0).試判斷直線PB與曲線C₁的位置關系，并證明你的結論.

(3)已知圓C₂：x²+(y-a)²=2,若C₁、C₂在交點處的切線互相垂直，求a的值.

Answer 1

解：(1)設P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,-2).

    ∵⊥,∴·=0.

    ∴x²-2y=0.

    ∴點P的軌跡方程為x²=2y(x≠0).

    (2)直線PB與曲線C₁相切，設點P的坐標為(x₀,y₀)，點A的坐標為(x₀,0).

    ∵=,∴=(0,-y₀).

    ∴點B的坐標為(0,-y₀).

    ∵≠0,∴直線PB的斜率為k=.

    ∵x₀²=2y₀,∴k=x₀.

    ∴直線PB的方程為y=x₀x-y₀.

    代入x²=2y,得x²-2x₀x+2y₀=0.

    ∵Δ=4x₀²-8y₀=0,

    ∴直線PB與曲線C₁相切.

     (3)不妨設C₁、C₂的一個交點為N(x₁,y₁),C₁的解析式即為y=x²，則在C₁上N處切線的斜率為k′=x₁，圓C₂過N點的半徑的斜率為k=.                      ①

    又∵點N(x₁,y₁)在C₁上，所以y₁=x₁².                                   ②

    由①②得y₁=-a,x₁²=-2a,

    ∵N(x₁,y₁)在圓C₂上，

    ∴-2a+4a²=2.

    ∴a=-或a=1.

    ∵y₁＞0,∴a＜0.

    ∴a=-.