Question

（2013•煙臺(tái)二模）己知函數(shù)f(x)=

lnx

x

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式1nx＜kx對(duì)一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在正實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使mⁿ=n^m？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)函數(shù)f(x)=

lnx

x

的導(dǎo)數(shù)為y′的解析式，分別令y′＞0，y′＜0，求得單調(diào)區(qū)間．
（2）利用分離參數(shù)法，得k＞

lnx

x

一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，轉(zhuǎn)化為求求f（x）=

lnx

x

在x∈[a，2a]上的最大值．
（3）mⁿ=n^m等價(jià)于nlnm=mlnn，即

lnm

m

=

lnn

n

，函數(shù)f(x)=

lnx

x

在（0，+∞）上有不同兩點(diǎn)函數(shù)值相等．利用f（x）的圖象解決．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1-lnx

x2

當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，所以
f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．所以f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞），
（2）不等式1nx＜kx對(duì)一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，分離k，得k＞

lnx

x

一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
下面求f（x）=

lnx

x

在x∈[a，2a]上的最大值．因?yàn)閍＞0，由（1）知，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞），
當(dāng)2a≤e，即0＜a≤

e

2

時(shí)，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（2a）=

ln(2a)

2a

當(dāng)a≥e時(shí)，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞減，f（x）max=f（a）=

lna

a

當(dāng)a＜e＜2a時(shí)，即

e

2

＜a＜e時(shí)，f（x）在[a，e]上單調(diào)遞增，在[e，2a]上單調(diào)遞減，f（x）max=f（e）=

1

e

綜上，當(dāng)0＜a≤

e

2

時(shí)，k＞

ln(2a)

2a

，當(dāng)a≥e時(shí)，k＞

lna

a

，當(dāng)

e

2

＜a＜e時(shí)，k＞

1

e

．
（3）存在．
由mⁿ=n^m，兩邊取自然對(duì)數(shù)，得nlnm=mlnn，即

lnm

m

=

lnn

n

，函數(shù)f(x)=

lnx

x

在（0，+∞）上有不同兩點(diǎn)函數(shù)值相等．
因?yàn)閒（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，f（x）max=f（e）=

1

e

當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，f（x）無(wú)限接近0，且f（x）＞0，f（x）的圖象如圖所示，
故總存在正實(shí)數(shù)m，n且1＜m＜e＜n，使得f（m）=f（n），即使mⁿ=n^m，此時(shí)1＜m＜e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性，查函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想，綜合性強(qiáng)，難度大．