Question

【題目】在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求證：平面；

（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，結合，由直線與平面垂直的判定可得平面；

（2）由（1）知，，則，，兩兩互相垂直，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，0，，由二面角的余弦值為求解，再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值．

（1）證明：因為四邊形是等腰梯形，，，所以.又，所以，

因此，，

又，

且，，平面，

所以平面.

（2）取的中點，連接，，

由于，因此，

又平面，平面，所以.

由于，，平面，

所以平面，故，

所以為二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，

因此，又，

因為，所以，所以

以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系，則，，

，，

設平面的法向量為

所以，即，令，則，，

則平面的法向量，，

設直線與平面所成角為，則