Question

已知函數
（1）若函數f（x）在定義域內單調遞增，求a的取值范圍；
（2）若且關于x的方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）設各項為正的數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*用數學歸納法證明：a_n≤2ⁿ-1

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導數大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉化為函數考慮其圖象與x軸的交點的問題．
（3）設h（x）=lnx-x+1然后求導，可判斷函數h（x）的單調性，再由數學歸納法得證．
解答：解：（I）f'（x）=-（x＞0）
依題意f'（x）≥0在x＞0時恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
則a≤=在x＞0恒成立，
即a≤（x＞0）
當x=1時，取最小值-1
∴a的取值范圍是（-∞，-1]．

（II）a=-，f（x）=-x+b∴
設g（x）=則g'（x）=列表：

∴g（x）極小值=g（2）=ln2-b-2，g（x）極大值=g（1）=-b-，
又g（4）=2ln2-b-2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根．
則，得ln2-2＜b≤-．

（III）設h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），則h'（x）=
∴h（x）在[1，+∞）為減函數，且h（x）_max=h（1）=0，故當x≥1時有lnx≤x-1．
∵a₁=1
假設a_k≥1（k∈N^*），則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故a_n≥1（n∈N^*）
從而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1∴1+a_n+1≤2（1+a_n）≤…≤2ⁿ（1+a₁）
即1+a_n≤2ⁿ，∴an≤2ⁿ-1
點評：本題主要考查函數單調性與其導函數正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．