Question

（本小題滿分14分）
如圖4,已知四棱錐，底面是正方形，面，點是的中點，點是的中點,連接,.

（1）求證：面；
（2）若,，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證法1：取的中點，連接
證法2：連接并延長交的延長線于點，連接
證法3：取的中點，連接
（2）

（本小題主要考查空間線面位置關系、二面角等基礎知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法）
（1）證法1：取的中點，連接，
∵點是的中點,
∴.    …………… 1分
∵點是的中點，底面是正方形，
∴.  …………… 2分
∴.
∴四邊形是平行四邊形.
∴.                …………… 3分
∵平面，平面，
∴面.             …………… 4分
證法2：連接并延長交的延長線于點，連接，
∵點是的中點，
∴, …………… 1分
∴點是的中點.         …………… 2分
∵點是的中點,
∴.                            …………… 3分
∵面，平面，
∴面.                    …………… 4分
證法3：取的中點，連接，
∵點是的中點，點是的中點,
∴，.
∵面，平面，
∴面.                       ………… 1分
∵面，平面，
∴面.                 ……… 2分
∵，平面，平面，
∴平面面.    …………… 3分
∵平面，
∴面.         …………… 4分
（2）解法1：∵，面，
∴面.        …………… 5分
∵面，
∴.                          ………… 6分
過作，垂足為，連接，
∵，面，面，
∴面.                  …………… 7分
∵面，
∴.                         ……… 8分
∴是二面角的平面角.       ………… 9分
在Rt△中，,，得，
…………… 10分
在Rt△中，，得，
.                      …………… 11分
在Rt△中，，  ……… 12分
.              ……… 13分
∴二面角的余弦值為.         ………… 14分
解法2：∵，面，
∴面.
在Rt△中，,，得，
…………… 5分
以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標系，               …………… 6分
則.
∴，. …………… 8分
設平面的法向量為，
由，，
得
令，得，.
∴是平面的一個法向量.               …………… 11分
又是平面的一個法向量，              …………… 12分
.                       …………… 13分
∴二面角的余弦值為.                   …………… 14分