Question

已知函數f（x）=e^x，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數k、b應滿足的條件．

Answer 1

（1）函數f（x）=e^x，
分析可得f（x）=e^x與直線相切，只有一個交點即切點，
故過函數圖象上的任一點P（t，f（t））的切線中P即為切點，
∵f'（x）=e^x，
∴切線l的方程為y-e^t=e^t（x-t）
即y=e^tx+e^t（1-t）
（2）由（1）

k=et b=et(1-t)

記函數F（x）=f（x）-kx-b，
∴F（x）=e^x-e^tx-e^t（1-t）
∴F'（x）=e^x-e^t
∴F（x）在x∈（-∞，t）上單調遞減，在x∈（t，+∞）為單調遞增
故F（x）_min=F（t）=e^t-e^tt-e^t（1-t）=0
故F（x）=f（x）-kx-b≥0即f（x）≥kx+b對任意x∈R成立
（3）設H（x）=f（x）-kx-b=e^x-kx-b，x∈[0，+∞）
∴H'（x）=e^x-k，x∈[0，+∞）
①當k≤1時，H'（x）≥0，則H（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增
∴H（x）_min=H（0）=1-b≥0，
∴b≤1，即

k≤1 b≤1

符合題意
②當k＞1時，H（x）在x∈[0，lnk）上單調遞減，x∈[lnk，+∞）上單調遞增
∴H（x）_min=H（lnk）=k-klnk-b≥0
∴b≤k（1-lnk）
綜上所述滿足題意的條件是

k≤1 b≤1

或

k＞1 b≤k(1-lnk)