Question

給出下列五個結論其中正確的是（　　）
①若實數x，y滿足（x-2）²+y²=3，則

y

x

的最大值為

3

；②橢圓

x2

4

+

y2

3

=1與橢圓

x2

2

+

2y2

3

=1有相同的離心率；③雙曲線

x2

2-k

+

y2

3-k

=1的焦點坐標是（1，0），（-1，0）④圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有 公共點的充要條件是k∈(-

3

，

3

)⑤設a＞1，則雙曲線

x2

a2

-

y2

(a+1)2

=1的離心率e的取值范圍是(

2

，

5

)．

A．①②③

B．②③④

C．①②③⑤

D．①②④⑤

Answer 1

分析：根據圓錐曲線的性質逐一判斷，①應用斜率的幾何意義，把

y

x

看成點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，即可通過求圓的切線斜率來計算；②橢圓的離心率e=

c

a

，所以要判斷兩個橢圓的離心率是否相同，只需求出兩個橢圓中的a，c的值；③要求雙曲線的焦點坐標，必須求出c的值以及焦點所在坐標軸；④直線與圓若沒有公共點，這直線與圓相離，圓心到直線的距離大于半徑；⑤要求離心率的范圍，只需用含參數a的式子表示離心率，再根據a的范圍求出e的范圍．

解答：解：①

y

x

=

y-0

x-0

，可看成點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，也即圓（x-2）²+y²=3上點與坐標原點連線的斜率．
∴

y

x

的最值即為過原點的直線與圓相切時該直線的斜率，設過原點的圓的切線方程為y=kx，即kx-y=0，
圓（x-2）²+y²=3的圓心（2，0）到直線kx-y=0的距離

|2k|

k2+1

=

3

，解得k=±

3

，∴

y

x

的最大值為

3

，∴①正確．
②橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中a=2，c=1，∴離心率為

1

2

，橢圓

x2

2

+

2y2

3

=1中a=

2

，c=

2

2

，∴離心率為

1

2

，∴②正確．
③∵雙曲線方程為

x2

2-k

+

y2

3-k

=1，∴（2-k）（3-k）＜0，∴2＜k＜3，∴2-k＜0.3-k＞0，∴雙曲線的焦點在y軸上，
且c²=3-k+k-2=1，∴c=1，∴焦點坐標為（0，±1），∴③錯誤．
④若圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有公共點，則圓心到直線的距離大于半徑，即

2

k2+1

＞1，解得，-

3

＜k＜

3

，若-

3

＜k＜

3

，則圓心到直線的距離大于半徑，∴圓與直線無公共點，∴圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有 公共點的充要條件是k∈(-

3

，

3

)，∴④正確．
⑤∵雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

(a+1)2

=1，∴c²=a²+（a+1）²，
∴e²=

c2

a2

=

a2+(a+1)2

a2

=(

1

a

)2+

2

a

+2=(

1

a

+1)2+1，∵a＞1，∴0＜

1

a

＜1，
∴2＜e²＜5，∴

2

＜e＜

5

∴⑤正確．
故選D

點評：本題主要考查圓錐曲線的一些性質，因為是多選題，只需逐個判斷即可．