Question

數列{}的前n項和為，．
（Ⅰ）設，證明：數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列的前項和；
（Ⅲ）若，．求不超過的最大整數的值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ） 由，令可求，時，利用可得與之間的遞推關系，構造等可證等比數列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用錯位相減法可求數列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，進而可求，代入P中利用裂項求和即可求解
試題解析：解:(Ⅰ) 因為，
所以  ① 當時，，則，            .（1分）
② 當時，，        .（2分）
所以，即，
所以，而，        .（3分）
所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．     .（4分）
（Ⅱ） 由(Ⅰ)得．
所以 ①
②     .（6分）
②-①得：     .（7分）
     （8分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知        （9分）
而
，     （11分）
所以，
故不超過的最大整數為．                 （14分） .