Question

設函數f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為

2π

3

．
（1）求ω的值；
（2）當x∈[0，

π

6

]時，求f（x）的最值．
（3）若函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位長度得到，求y=g（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）通過三角函數的基本關系式與二倍角公式，把函數化簡為 一個角的一個三角函數的形式，通過周期求出ω的值．
（2）當x∈[0，

π

6

]時，3x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，然后求出f（x）的最值．
（3）由y=f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位長度得到y=g（x）的表達式，利用正弦函數的單調增區間求出函數的單調增區間．

解答：解：（1）因為函數f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2，
它的最小正周期為

2π

3

．
2ω=

2π

2π 3

=3，
所以ω=

3

2

…（4分）
（2）因為x∈[0，

π

6

]
所以3x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]…（5分）
sin(3x+

π

4

)∈[

2

2

，1]…（6分）
當3x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

12

時，ymax=2+

2

，
當3x+

π

4

=

π

4

或

3π

4

，即x=0或

π

6

時，y_min=3…（8分）
（3）f（x）=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2，
的圖象向右平移

π

2

個單位長度得到g(x)=

2

sin(3x-

5π

4

)+2…（10分）
2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
單調增區間是[

2π

3

+

π

4

，

2π

3

+

7

12

]，k∈Z…（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，周期的應用，三角函數的最值，單調增區間的求法，考查計算能力，常考題型．