Question

設函數f（x）滿足f（0）=1，且對任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足：a_n+1=3f（a_n）-1（n∈N⁺），且a₁=1，求數列{a_n}的通項；
（Ⅲ）求證：

3

2

≤（1+

1

2f(n-1)

）^f（n-1）＜2，（n∈N⁺）

Answer 1

分析：（Ⅰ）運用賦值的方法，令x=y=0，求出f（1）=2，再令y=0可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）運用待定系數法，找出a_n+1+1與a_n+1的位數關系，結合等比數列的通項公式，求出數列{a_n}的通項；
（Ⅲ）運用二項式定理，結合不等式的知識與放縮法，從而證出不等式恒成立．

解答：解：（Ⅰ）因f（0）=1．
若令x=y=0，得f（1）=f（0）f（0）-f（0）-0+2=2
再令y=0得f（1）=f（x）f（0）-f（0）-x+2，可得f（x）=x+1，x∈R
（Ⅱ）∵f（x）=x+1，∴a_n+1=3f（a_n）-1=3（a_n+1）-1=3a^_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），又a₁+1=2，∴數列{a_n+1}是首項為2，公比為3的等比數列，
∴a_n+1=2•3^n-1，即a_n=2•3^n-1-1
（Ⅲ）∵f（x）=x+1，x∈R，∴T=[1+

1

2f(n-1)

]f(n-1)=(1+

1

2n

)n，n∈N^*
T=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2n

)+

C

2 n

(

1

2n

)2+

C

3 n

(

1

2n

)3+…+

C

r n

(

1

2n

)r+≥1+n•

1

2n

=

3

2

另一方面：因為

C

r n

(

1

2n

)r=

m(n-1)(n-2)-(n-r+1)

nr•1•2•3…r

•(

1

2

)r≤(

1

2

)r，
所以T≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)r+…+(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n+1

1- 1 2

=2(1-

1

2n+1

)=2-

1

2n

＜2．
綜上可得命題成立．

點評：數列與不等式相綜合是考試的熱點，也是難點．第一小問賦值的同進應該注意一個“巧”字，不要出現重復累贅，不得其法；第二小問除待定系數的方法外還可利用利用作差構造新數列的方法，同學們不妨作個嘗試；第三小問證明不等式恒成立，在結合二項式定理的同時還要注意式子的適當放縮，從而達到證明的目的．