Question

【題目】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，．

（1）求證：CF⊥平面BDE；

（2）求二面角A-BE-D的大小。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2) （或）

【解析】

（1）連接FG，可證得四邊形CEFG為菱形，故得.再根據平面ABCD平面ACEF得到平面ACEF，從而．由線面垂直的判定定理可得結論成立．（2）建立空間直角坐標系，求出平面BDE和平面ABE的法向量，求出兩向量的夾角的余弦值并結合圖形可得所求角的大小．

（1）連接FG，

∵，

∴四邊形CEFG為菱形,

∴.

∵ABCD為正方形，

∴，

又平面ABCD平面ACEF，平面ABCD平面ACEF=AC，BD平面ABCD

∴平面ACEF，

∵CF平面ACEF，

∴．

又，BD平面BDE, BG平面BDE，

∴平面BDE．

（1）∵正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，

∴CE⊥平面ABCD，

以C為原點，CB為軸，CD為軸，CE為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

∴，，

由（1）可得是平面BDE的一個法向量．

設平面ABE的一個法向量為

由，得，

令，得，

∴，

由圖形可得二面角A-BE-D為銳角，

∴二面角A-BE-D的大小為（或）．