Question

已知直線AB與拋物線y²=4x交于A，B兩點，M為AB的中點，C為拋物線上一個動點，若C₀滿足

C0A

•

C0B

=min{

CA

•

CB

}，則下列一定成立的是（　　）

• A．C₀M⊥AB
• B．C₀M⊥l，其中l是拋物線過C₀的切線
• C．C₀A⊥C₀B
• D．C0M=

  1

  2

  AB

Answer 1

分析：先利用向量加減法的幾何意義化簡

CA

•

CB

，從而得出

CA

•

CB

=|

CM

|2-|

AM

|2，故有min{

CA

•

CB

}=|

CM

|min，l是拋物線過C₀的切線，結合拋物線的性質即可得出答案．

解答：解：∵

CA

•

CB

=（

CM

-

AM

）•（

CM

-

BM

）
=|

CM

|2-

CM

•(

AM

+

BM

)+

AM

•

BM

=|

CM

|2-|

AM

|2，
∴min{

CA

•

CB

}=|

CM

|min，
∴CM⊥l．其中l是拋物線過C₀的切線．
故選B．

點評：本題主要考查了平面向量的加減運算，平面向量數量積的運算，拋物線的方程，考查了轉化思想，屬于難題．