Question

已知直線AB與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-p²．　 求證：直線AB經過拋物線的焦點．

Answer 1

證明：設直線AB的方程為：y=kx+b，
由，得（kx+b）²=2px，
整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴，
∵y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，
∴=，
∴k=，或k=-，
∴y=（舍）或y=-，
當y=0時，x=．
故直線AB經過拋物線的焦點F（，0）．
分析：設直線AB的方程為：y=kx+b，由，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知，由y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，知=，由此能夠證明直線AB經過拋物線的焦點．
點評：本題考查拋物線的性質和應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意直線和拋物線位置關系的應用，合理地運用韋達定理進行求解．