Question

【題目】設(shè)橢圓的一個頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，其離心率橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得出，再結(jié)合離心率求出的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）分直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時，求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證是否成立；在直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，并設(shè)點(diǎn)、，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出關(guān)于的方程，解出即可.

（1）由拋物線的焦點(diǎn)為，則知，

又結(jié)合，，解得，故橢圓方程為；

（2）若直線不存在，可得，，不滿足；

故直線斜率必然存在，由橢圓右焦點(diǎn)，可設(shè)直線為，

記直線與橢圓的交點(diǎn)、，

由，消去整理得到.

由題意可知恒成立，且有，.

那么

則，解得.

因此，直線的方程為.