Question

定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，若方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三個(gè)不同的根，則a的取值范圍是（ ）
A．（0，）
B．（0，）
C．（，）
D．（，）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函數(shù)f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據(jù)方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三個(gè)不同的根，得到函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．
解答：解：因?yàn)?f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
圖象為開口向下，頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線
∵方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三個(gè)不同的根，
∴函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，令g（x）=log_a（x+1），
如圖要求g（2）＞f（2），可得
就必須有 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
∴可得log_a3＞-2，∴3＞，解得-＜a＜，又a＞0，
∴0＜a＜，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，這也是高考常考的熱點(diǎn)問題，此題是一道中檔題．