Question

定義域為R的偶函數f（x）滿足對?∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三個不同的根，則a的取值范圍是（　　）

Answer 1

分析：根據定義域為R的偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函數f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三個不同的根，得到函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，利用數形結合的方法進行求解．

解答：解：因為 f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期為2的偶函數，
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線
∵方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三個不同的根，
∴函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，令g（x）=log_a（x+1），
如圖要求g（2）＞f（2），可得
就必須有 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
∴可得log_a3＞-2，∴3＞

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

，又a＞0，
∴0＜a＜

3

3

，
故選A．

點評：此題主要考查函數周期性及其應用，解題的過程中用到了數形結合的方法，這也是高考常考的熱點問題，此題是一道中檔題．