Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點）上一個動點，設 ， ，則得到函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）對于任意a∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖所示，建立直角坐標系．

∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），

∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．

∵ =x ，（0≤x≤1）．

∴ = +x =（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），

∴ = ﹣ =（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）

∴y=f（x）= =（2﹣x，﹣xa）（2﹣x，a﹣xa）

=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）

=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1

（Ⅱ）由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

可知：對稱軸x0= ．

當0＜a≤ 時，1＜x0，∴函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，因此當x=0時，函數(shù)f（x）取得最大值4．

當a＞ 時，0＜x0＜1，函數(shù)f（x）在[0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，1]上單調(diào)遞增．

又f（0）=4，f（1）=1，

∴f（x）max=f（0）=4．

綜上所述函數(shù)f（x）的最大值為4

【解析】（Ⅰ）畫出圖形，建立直角坐標系，即得y=f（x）的解析式，代值計算即可（Ⅱ）通過分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出．