Question

已知P為曲線C上任一點，若P到點F的距離與P到直線距離相等
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點A、B，
（I）若，求直線l的方程；
（II）試問在x軸上是否存在定點E(a,0)，使恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）（I）或（II）a=0定值為-1

本試題主要是考查了拋物線的方程的求解，以及直線與拋物線的位置關系的綜合運用。
（1）根據拋物線的定義可知點F（-，0）為拋物線的焦點，x=為其準線，設出拋物線的方程，根據焦點坐標求得p，則拋物線方程可得．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設存在點M（a，2）滿足條件，根據題意把A，B坐標代入，同時根據拋物線方程可知x₁和y₁，x₂和y₂的關系，把直線與拋物線方程聯立消去x，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，代入方程③中，求得a的值，推斷出出存在點M滿足題意．
解：（1）說明曲線C為拋物線 （ 或解 ）-------------2分
得出方程：----------------4分
（2）（I）設，聯立得
---------5分

而，  --------9分
(（II）假設存在E(m,0)，
  ------10分
 -------13分
恒為定值所以a=0定值為-1-------15分