Question

第十一屆西博會(huì)于2010年10月22日至26日在蓉舉行，本屆西博會(huì)以“綠色改變生活，技術(shù)引領(lǐng)發(fā)展”為主題．如此重要的國(guó)際盛會(huì)，自然少不了志愿者這支重要力量，“志愿者，西博會(huì)最亮麗的風(fēng)景線”，通過(guò)他們的努力和付出，已把志愿者服務(wù)精神的種子播撒到人們心中．某大學(xué)對(duì)參加了本次西博會(huì)的該校志愿者實(shí)施“社會(huì)教育實(shí)踐”學(xué)分考核，因該批志愿者表現(xiàn)良好，該大學(xué)決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次，若某志愿者考核為合格，授予0.5個(gè)學(xué)分；考核為優(yōu)秀，授予1個(gè)學(xué)分．假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為

4

5

、

2

3

、

2

3

，他們考核所得的等次相互獨(dú)立．
（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（2）記這這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由已知中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀，是“志愿者甲、乙、兩三人中沒(méi)有考核為優(yōu)秀”，這個(gè)事件的對(duì)立事件，利用對(duì)立事件概率減法公式，即可求出答案．
（II）根據(jù)甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能取值為

3

2

、2、

5

2

、3，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，即可得到數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）記甲、乙、丙考核為優(yōu)秀依次為事件A、B、C，
“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E，
事件A、B、C相互獨(dú)立，
事件

.

A

•

.

B

•

.

C

與E是對(duì)立事件；
P（E）=1-P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=1-

1

5

×

1

3

×

1

3

=

44

45

；
（Ⅱ）根據(jù)題意，ξ的可能取值為

3

2

、2、

5

2

、3，
P（ξ=

3

2

）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=

1

45

，
P（ξ=2）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

8

45

，
P（ξ=

5

2

）=P（A•B•

.

C

）+P（

.

A

•B•C）+P（A•

.

B

•C）=

20

45

，
P（ξ=3）=P（A•B•C）=

16

45

∴ξ的分布列為

∴Eξ=

3

2

×

1

45

+2×

8

45

+

5

2

×

20

45

+3×

16

45

=

77

30

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望，在計(jì)算隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，一定要注意分類(lèi)時(shí)要不重分，不漏分．