Question

【題目】已知圓的半徑為2，為平面上一點，，是圓上動點，線段的垂直平分線和直線相交于點．

（1）以中點為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，求點的軌跡方程；

（2）設（1）中點軌跡與直線相交于兩點，求三角形的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意建立直角坐標系，由線段垂直平分線的性質即可得出，進而得到．由橢圓定義可知，點的軌跡是以，為焦點的橢圓，求出方程即可；

（2）聯立直線與橢圓的方程消去可得出關于的一元二次方程，結合韋達定理求出，，進而求出弦長公式的代數式，然后利用三角形面積公式得到關于三角形面積的關于的代數式，利用整體思想再結合基本不等式求出最值即可．

解：（1）以所在直線為軸，中點為原點，建立平面直角坐標系，如圖

因為，連，由已知，得，所以．

由橢圓定義可知，點的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為．

（2）由（1）知，點軌跡是橢圓，

與交于，，

由

消去得．

，．

故

令，，

．