Question

（本小題滿分12分）

已知函數．

（Ⅰ）討論函數在定義域內的極值點的個數；

（Ⅱ）若函數在處取得極值，對,恒成立，

求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當且時，試比較的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點（Ⅱ）（Ⅲ）當時，，當時，.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，

所以當時，在上恒成立，函數 在單調遞減，

∴在上沒有極值點；

當時，由得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當時在上沒有極值點，

當時，在上有一個極值點．                                ……3分

（Ⅱ）∵函數在處取得極值，∴，

∴，                                         ……5分

令，可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．                                  ……7分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上單調減，

   ∴時，，

    即.

    當時，，∴， ∴，

    當時，，∴, ∴.

……12分

考點：本小題主要考查利用導數判斷極值點的個數、利用導數解決恒成立問題和利用導數證明不等式等問題，考生學生的邏輯思維能力和運算求解能力.

點評：導數是研究函數性質的一個比較好的工具，給出函數可以利用導數考查函數的性質，恒成立問題可以轉化為最值問題來解決，如果最值不好求，可以構造新函數再次利用導數求解，一定要靈活運用導數，使導數的功能完全發揮出來.