Question

已知非零向量

a

、

b

滿足|a|=1，且(

a

-

b

)•(

a

+

b

)=   

1

2

．
（1）求|

b

|；
（2）當

a

•

b

= 

1

2

時，求向量

a

與

b

的夾角θ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a

2-

b

2=

1

2

，故 |

b

|2=|

a

|2-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

．
（2）利用兩個向量夾角公式可得餓cosθ=

a • b

| a| •| b |

=

2

2

，又0≤θ＜180°，求得θ 的值．

解答：解：（1）因為(

a

-

b

)•(

a

+

b

)=  

1

2

，即

a

2-

b

2=

1

2

，
所以|

b

|2=|

a

|2-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

，故|

b

|=

2

2

．
（2）因為cosθ=

a • b

| a| •| b |

=

2

2

，又0≤θ＜180°，故θ=45°

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，向量的模的定義，求向量的模的方法，兩個向量夾角公式的應用，求出|

b

|的
值，是解題的關鍵．