Question

如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.

（1）求證：；
（2）在棱上確定一點，使、、、四點共面，并求此時的長；
（3）求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：本題有兩種方法，第一種是傳統方法：（1）連接，先由正方體的性質得到，以及平面，從而得到，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假設四點、、、四點共面，利用平面與平面平行的性質定理得到，，于是得到四邊形為平行四邊形，從而得到的長度，再結合勾股定理得到的長度，最終得到的長度；（3）先延長、交于點，連接，找出由平面與平面所形成的二面角的棱，借助平面，從點在平面內作，連接，利用三垂線法得到為平面與平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角中計算的余弦值；
第二種方法是空間向量法：（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，確定與的坐標，利用來證明，進而證明
；（2）先利用平面與平面平行的性質定理得到，然后利用空間向量共線求出點的坐標，進而求出的長度；（3）先求出平面和平面的法向量，結合圖形得到由平面和平面所形成的二面角為銳角，最后再利用兩個平面的法向量的夾角來進行計算.
試題解析：（1）如下圖所示，連接，

由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下圖所示，假設、、、