Question

18．設橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點（0，4）離心率為$\frac{3}{5}$
（1）求C的方程；  
 （2）求過點（3，0）且斜率為$\frac{4}{5}$的直線被C所截線段中點坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：b=4，根據橢圓離心率公式即可求得b的值，求得橢圓方程；
（2）由點斜式方程求得直線AB方程，代入橢圓方程，求得A和B點坐標，利用中點坐標公式，即可求得AB的中點坐標．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點（0，4），則b=4-------------（2分）
橢圓離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，則a=5，------------------（3分）
∴C的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；--------------------------（5分）
（2）過點（3，0）且斜率為$\frac{4}{5}$的直線方程為y=$\frac{4}{5}$（x-3），--------（6分）
設直線與C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程y=$\frac{4}{5}$（x-3）代入C的方程，得x²-3x-8=0，解得-------------------------（8分）
x₁=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，----------------------（9分）
∴AB的中點M（x₀，y₀）坐標x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，---------------------（10分）
y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{2}{5}$（x₁+x₁-6）=-$\frac{6}{5}$，--------------（11分）
即中點為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{6}{5}$）．--------------------------------（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．