Question

對于函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在實數x₀，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．
（1）當a=2，b=-2時，求f（x）的不動點；
（2）若對于任何實數b，函數f（x）恒有兩相異的不動點，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）的圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f（x）的不動點，且直線y=kx+

1

2a2+1

是線段AB的垂直平分線，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x為不動點，則有2x²-x-4=x，變形為2x²-2x-4=0，解方程即可．
（2）將f（x）=x轉化為ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相異二實根，則有△_x＞0恒成立求解；
（3）由垂直平分線的定義解決，由A、B兩點的橫坐標是函數f（x）的不動點，則有k_AB=1，再由直線y=kx+

1

2a2+1

是線段AB的垂直平分線，得到k=-1，再由中點在直線y=kx+

1

2a2+1

上求解．

解答：解∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）當a=2，b=-2時，f（x）=2x²-x-4．
設x為其不動點，即2x²-x-4=x．
則2x²-2x-4=0．∴x₁=-1，x₂=2．即f（x）的不動點是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相異二實根，△_x＞0恒成立，即b²-4a（b-2）＞0．即b²-4ab+8a＞0對任意b∈R恒成立．∴△_b＜0．，∴16a²-32a＜0，∴0＜a＜2．
（3）設A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
直線y=kx+

1

2a2+1

是線段AB的垂直平分線，∴k=-1
記AB的中點M（x₀，x₀）．由（2）知x0=-

b

2a

，∵M在y=kx+

1

2a2+1

上，∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

．
化簡得：b=-

a

2a2+1

=-

1

2a+ 1 a

≥-

1

2 2a• 1 a

=-

2

4

(當a=

2

2

時，等號成立）．
即0＞b≥-

2

4

．即[-

2

4

，0）．

點評：本題主要考查方程的解法，方程根的情況以及垂直平分線定義的應用．