Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2•2x

2x+1

（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）為奇函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明：任取x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，若f（x₁）＞f（x₂），則為減函數(shù)，若f（x₁）＜f（x₂），則為增函數(shù)；
（Ⅱ）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用奇函數(shù)的定義求解證明即可；

解答：解：（Ⅰ）f（x）在R上單調(diào)遞減，
證明如下：任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2•2x2

2x2+1

-

2•2x1

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）解：存在a=1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)．
證明如下：f（x）=1-

2•2x

2x+1

=

1-2x

2x+1

定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．
又f（-x）=

1-2-x

2-x+1

=

2x-1

2x+1

=-f（x），
故存在a=1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判定及其證明，涉及有關(guān)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的證明問題，常常運(yùn)用它們定義進(jìn)行解決，解題時(shí)注意函數(shù)定義域的求解．屬于高考常考題．