Question

（2013•麗水一模）已知公差不為零的等差數列{a_n}的前10項和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足bn=(-1)nan+2n，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由已知條件利用等差數列的前n項和公式，等比數列的性質列出方程組求得首項和公差，即得{a_n}的
通項公式．
（Ⅱ）先求出數列{b_n}的通項公式，分n為奇數和n為偶數兩種情況，利用分組求和法分別求得{b_n}的前n項
和T_n．

解答：解：（Ⅰ） 由已知得：

10a1+ 10×9d 2 =55 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)

，化簡可得

2a1+9d=11 d2-a1d=0

．
因為  d≠0，所以，d=a₁，∴2a₁+9a₁=11，所以 a₁=1，d=1．
所以 a_n=1+（n-1）=n．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=(-1)nan+2n，∴bn=

-n+2n(n為奇數) n+2n(n為偶數)

，
∴（ⅰ） 當n為奇數時，Tn= (-1+2)+(-2+22)+(-3+23)+…+（-n+2ⁿ）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n-1

2

-n+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-

n

2

-

5

2

．
（ⅱ） 當n為偶數時，Tn= (-1+2)+(-2+22)+(-3+23)+…+（-n+2ⁿ）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n+1+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=2ⁿ⁺¹ +

n

2

-2．
所以，Tn=

2n+1- n 2 - 5 2 (n為奇數) 2n+1+ n 2 -2(n為偶數)

．…（14分）

點評：本題主要考查等差數列的前n項和公式，等比數列的性質，數列求和，屬于中檔題．