Question

已知橢圓方程為，長軸兩端點為A、B，短軸上端點為C．
（1）若橢圓焦點坐標為，點M在橢圓上運動，當△ABM的最大面積為3時，求其橢圓方程；
（2）對于（1）中的橢圓方程，作以C為直角頂點的內接于橢圓的等腰直角三角形CDE，設直線CE的斜率為k（k＜0），試求k滿足的關系等式；
（3）過C任作垂直于，點P、Q在橢圓上，試問在y軸上是否存在一點T使得直線TP的斜率與TQ的斜率之積為定值，如果存在，找出點T的坐標和定值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知：，，
聯立方程組求得：a=3，b=1，
所求方程為：
（2）依題意設CE所在的直線方程為y=kx+1（k＜0），
代入橢圓方程并整理得：（1+9k²）x²+18kx=0，則，
同理
由|CE|=|CD|得k³+9k²+9k+1=0，即（k+1）（k²+8k+1）=0
（3）由題意得：T（0，﹣b），又知，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

x₁x₂=﹣（y₁﹣b）（y₂﹣b）
又由得，
同理，
所以．
從而得
所以
而（為定值）．
對比上式可知：選取T（0，﹣b），則得直線TP的斜率與TQ的斜率之積為