Question

由曲線y=x²和直線x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所圍成的圖形（陰影部分）的面積的最小值為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：由微積分的幾何意義并利用微積分公式，算出陰影部分面積S=

4

3

t3-t2+

1

3

，利用導(dǎo)數(shù)研究F（t）=

4

3

t3-t2+

1

3

的單調(diào)性，可得F（t）的最小值為F（

1

2

）=

1

4

，即得圍成的圖形面積的最小值．

解答：解：根據(jù)題意，可得
S=

∫

t 0

(t2-x2)

dx+∫

1 t

(x2-t2)dx
=（t²x-

1

3

x³）

|

t 0

+（

1

3

x³-t²x）

|

1 t

=

2

3

t3+（

1

3

-t²）-（

1

3

t3-t³）=

4

3

t3-t2+

1

3

記F（t）=

4

3

t3-t2+

1

3

，可得F'（t）=4t²-2t=2t（2t-1）
∵當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，F(xiàn)'（t）＜0，當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，F(xiàn)'（t）＞0
∴F（t）在（0，

1

2

）上為減函數(shù)；在（

1

2

，1）上為增函數(shù)
因此，F(xiàn)（t）的最小值為F（

1

2

）=

4

3

•

1

8

-

1

4

+

1

3

=

1

4

，即圍成的圖形面積的最小值為

1

4

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題求兩條曲線圍成的曲邊圖形的面積，求面積的最小值．著重考查了定積分的幾何意義、積分計(jì)算公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．