Question

由曲線y=x²和直線y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所圍成的圖形（陰影部分）的面積的最小值是多少？

Answer 1

分析：根據定積分的幾何意義，陰影部分的面積為y=t²-x²在[0，t]上的積分值，加上y=x²-t²在[t，1]上的積分值所得的和．由積分計算公式，算出S（t）=

4

3

t3-t2+

1

3

，再通過求導討論S（t）的單調性，得當t=

1

2

時，S（t）有最小值為

1

4

，即得陰影部分面積的最小值．

解答：解：根據定積分的幾何意義，陰影部分的面積為
S(t)=

∫

t 0

(t2-x2)dx+

∫

1 t

(x2-t2)dx
=（t²x-

1

3

x³）

|

t 0

+（

1

3

x³-t²x）

|

1 t

=

4

3

t3-t2+

1

3

求導數，得S'（t）=4t²-2t=4t（t-

1

2

）
令S'（t）=0得t=

1

2

或t=0…（6分）
∵0＜t＜

1

2

時，S'（t）＜0；

1

2

＜t＜1時，S'（t）＞0
∴函數S（t）在(0，

1

2

)上是減函數；在（

1

2

，1）上是增函數
因此，當t=

1

2

時，函數S（t）取極小值，并且這個極小值也是函數的最小值．
∴陰影部分的面積S（t）的最小值是S（

1

2

）=

1

4

．

點評：本題給出曲線圍成的圖形，求圖形面積的最小值，著重考查了定積分的幾何意義和利用導數研究函數的單調性與最值等知識，屬于中檔題．