Question

（本題滿分9分）

設平面上向量＝(cosα，sinα)  (0°≤α＜360°)，＝(－，)．

(1)試證：向量與垂直；

(2)當兩個向量與的模相等時，求角α.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；(2)α＝30°，或α＝210°.

【解析】本試題主要是考查了向量的數量積的運算，以及向量的數量積的性質的運用，以及三角函數的變形運用，和三角方程的求解的綜合試題。

（（1）根據已知要證明向量與垂直，則利用數量積為零即可。

（2）由|a|＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，利用模相等，則平方后相等來解得關于角α的方程，然后解三角方程得到角的值。

解：　(1)(a＋b)·(a－b)＝(cosα－，sinα＋)·(cosα＋，sinα－)

＝(cosα－)(cosα＋)＋(sinα＋)(sinα－)

＝cos²α－＋sin²α－＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．            ……4分

(2)由|a|＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，平方得(a＋b)²＝(a－b)²，

整理得2a²－2b²＋4ab＝0①.

∵|a|＝1，|b|＝1，∴①式化簡得a·b＝0，

a·b＝(cosα，sinα)·(－，)＝－cosα＋sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.

∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.       ……9分