Question

在邊長為a的正方形ABCD所在平面外取一點P，使PA⊥平面ABCD，且PA=AB，在AC的延長線上取一點G。 

（1）若CG=AC，求異面直線PG與CD所成角的大小；

（2）若CG=AC，求點C到平面PBG的距離；

（3）當點G在AC的延長線上運動時（不含端點C），求二面角P-BG-C的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）（3）二面角P-BG-C的取值范圍是

解析:

分析：本題如利用“幾何法”，則通過“平移變換”將異面直線角化歸為三角形的內角，由解三角形的方法求之，凡“點面距離”可利用等積法求之，至于二面角，則通過“作-證-算”三步曲求得；本題如利用“向量法”，則建立適當的空間直角坐標系，寫出各點坐標，再根據公式而求之。

方法一：（1）過點G作GE∥CD交AD的延長線于點E，連PE，則∠PGE是異面直線PG與CD所成的角，，則由條件得GE=2a，PG=3a，

cos ∠PGE=,所以異面直線PG與CD所成角等于；

（2）設h,則利用等積法知，在△PBG中，PB=，PG=3a，BG=，，得，又在△CBG中，，從而由得；

（3）作CF⊥AC交PG于F，作FH⊥BG交BG于H，連CH，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，所以PA∥CG，得CG⊥平面ABCD，由三垂線定理得∠FHC是二面角P-BG-C的平面角，設，則由△CGF∽△AGP得，

在△CBG中，得

所以，從而

，所以二面角P-BG-C的取值范圍是。

方法二：建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，O、0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a）。

由條件得G（2 a ，2 a ，0），

，

所以，

所以異面直線PG與CD所成角等于；

（2）設平面PBG的法向量為因，

所以由得，即又，

所以點C到平面PBG的距離為；

由條件設G（t,t,0）, 其中，平面PBG的法向量為

因，，所以由得，

即而平面CBG的法向量，

所以，因為，所以，

易知二面角P-BG-C的平面角是銳角，所以二面角P-BG-C的平面角等于，所以二面角PP-BG-C的取值范圍是。

點評:本題主要考查異面直線所成角的空間想象能力,利用體積法求點面距離的運算能力,二面角的估算能力,第(3)問有機的將函數的值域與立體幾何結合,較好地考查學生綜合分析與解決問題的能力.