Question

【題目】已知f(x)＝x2＋px＋q.求證：

(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.

Answer 1

【答案】（1）見解析； (2)見解析.

【解析】

（1）根據函數f（x）的解析式，分別將x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），進而求得f（1）+f（3）﹣2f（2）；

（1）“至少有一個不小于”的反面情況較簡單，比較方便證明，故從反面進行證明，用反證法．

證明：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2×(4＋2p＋q)＝2.

(2)假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，

則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.

而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，

這與|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，

從而假設不成立，故原命題成立．