Question

設函數y=f(x)對任意實數x，都有f(x)=2f(x+1)，當x∈[0,1]時，f(x)=x²(1-x).

(Ⅰ)已知n∈N+，當x∈[n,n+1]時，求y=f(x)的解析式；

(Ⅱ)求證：對于任意的n∈N+，當x∈[n,n+1]時，都有|f(x)|≤；

(Ⅲ)對于函數y=f(x)(x∈[0,+∞，若在它的圖象上存在點P，使經過點P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點有多少個？并說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)=(x-1)，x∈[n,n+1]，則(x-n)∈[0,1]

→f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). f(x)=f(x-1)=f(x-2)=…=f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). (n=0也適用). ………………4分

        (Ⅱ)f(x)=，由f(x)=0得x=n或x=n+

x	n	(n,n+)	n+	(n+,n+1)	n+1
f(x)		＋	0	－	＋
	0	↗	極大	↘	0

          f(x)的極大值為f(x)的最大值，，

又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0，∴|f(x)|=f(x)≤(x∈[n,n+1]).…8分

       (Ⅲ)y=f(x)，x∈[0,+∞即為y=f(x)，x∈[n,n+1]，f(x)=-1.

          本題轉化為方程f(x)=-1在[n,n+1]上有解問題

即方程在[n,n+1]內是否有解. ……11分

令g(x)=，

對軸稱x=n+∈[n,n+1]，

又△=…=，g(n)=，g(n+1)=，

①當0≤n≤2時，g(n+1)≥0，∴方程g(x)=0在區間[0,1],[1,2],[2,3]上分別有一解，即存在三個點P；

②n≥3時，g(n+1)<0，方程g(x)=0在[n,n+1]上無解，即不存在這樣點P.

綜上所述：滿足條件的點P有三個. …………………………16分