Question

【題目】定義：直線關于圓的圓心距單位圓心到直線的距離與圓的半徑之比.

（1）設圓，求過點的直線關于圓的圓心距單位的直線方程.

（2）若圓與軸相切于點，且直線關于圓的圓心距單位，求此圓的方程.

（3）是否存在點，使過點的任意兩條互相垂直的直線分別關于相應兩圓與的圓心距單位始終相等？若存在，求出相應的點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，.

【解析】

（1）設過的直線方程為，求得已知圓的圓心和半徑，由新定義，可得方程，求得，即可得到所求直線方程；

（2）設圓的方程為，由題意可得，①②，③，解方程可得，，，進而得到所求圓的方程；

（3）假設存在點，設過的兩直線為和，求得兩圓的圓心和半徑，由新定義可得方程，化簡整理可得，或，再由恒成立思想可得，的方程，解方程可得的坐標．

解：（1）設過的直線方程為，

圓的圓心為，半徑為1，

由題意可得，

解得，

即有所求直線為；

（2）設圓的方程為，

由題意可得，①

②，③

解方程可得，，，或，，．

則圓的方程為或；

（3）假設存在點，設過的兩直線為和

，又的圓心為，半徑為1，

的圓心為，半徑為2，

由題意可得，

化簡可得，或，

即有或，

解得或．

則存在這樣的點和，使得使過的任意兩條互相垂直的直線

分別關于相應兩圓的距離比始終相等．