Question

函數f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數f（x）在D上為非減函數，設函數f（x）在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f(x)；③f（1-x）=1-f（x）．則f(1)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

6

)+f(

1

7

)+f(

1

8

)等于（　　）

• A．

  11

  4

• B．

  21

  8

• C．

  5

  2

• D．無法確定

Answer 1

分析：由f（0）=0，結合f（1-x）+f（x）=1，分別取x=1和

1

2

可求f（1）和f（

1

2

），在f(

x

3

)=

1

2

f(x)中分別取x=1和

1

2

和

1

3

可求f（

1

3

），f（

1

6

），f（

1

9

）的值，結合非減函數的概念求f（

1

7

），f（

1

8

）的值，代入后答案可求．

解答：解：由f（0）=0，f（1-x）+f（x）=1，
令x=1，所以有f（1）=1
令x=

1

2

，所以有f（

1

2

）=

1

2

由f(

x

3

)=

1

2

f(x)，令x=1，有f（

1

3

）=

1

2

（1）=

1

2

令x=

1

2

，有f（

1

6

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
令x=

1

3

，有f(

1

9

)=

1

2

f(

1

3

)=

1

4

．
由非減函數性質：x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），

1

9

＜

1

8

＜

1

7

＜

1

6

，有f（

1

9

）≤f（

1

8

）≤f（

1

7

）≤f(

1

6

)
而f（

1

9

）=

1

4

=f（

1

6

）
所以有f（

1

7

）=f(

1

8

)=

1

4

．
∴f(1)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

6

)+f(

1

7

)+f(

1

8

)=

11

4

．
故選A．

點評：本題考查了函數的單調性的判斷與證明，考查了代入法求值，屬中檔題．