Question

(本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(-2，0)、B(2，0)，M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為，設動點M的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程；

(II)過定點T(-1,0)的動直線與曲線C交于P,Q兩點，若，證明：為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設動點，則,……………2分

,

即  （）.…………………4分

（Ⅱ）當的斜率不存在時，,

若,.………………6分

當直線的斜率存在時，設的方程為，  ，聯立方程組

，消去得,

設，則………………8分

.

,

……………10分

.…………………12分

【解析】(I)根據動點滿足的幾何條件進行坐標化建立方程，然后化簡即可得到曲線C的方程。但化簡方程時要注意等價轉化。

(II)直線方程與曲線C的方程聯立消元后,根據韋達定理對進行坐標化，即可證明。