Question

（08年泉州一中適應性練習文）（12分）

        如圖， PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形， PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點.

   （1）求證：PB∥面EFG；

   （2）求異面直線EG與BD所成的角；

   （3）求點A到平面EFG的距離。

 

Answer 1

解析：解法一：

   （1）證明：取AB中點H，連結GH，HE，

∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點，

∴GH∥AD∥EF，

∴E，F，G，H四點共面. ……………………1分

又H為AB中點，

∴EH∥PB. ……………………………………2分

又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB∥平面EFG. ………………………………4分

 

 

（2）解：取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM//BD，

∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD

所成的角.………………5分

     在Rt△MAE中， ，

     同理，…………………………6分

又，

∴在△MGE中，

………………7分

故異面直線EG與BD所成的角為arccos，………………………………8分

 

 解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），

P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.

   （1）證明：

     …………………………1分

    設，

    即，

   

     ……………3分

    ，

    ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 4分

   （2）解：∵,…………………………………………5分

    ，……………………… 7分

故異面直線EG與BD所成的角為arccos，………………………………8分

(3)   

  ，            

設面的法向量

則

取法向量

A到平面EFG的距離=.…………………………12分