Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C對邊分別為a，b，c，且c＜a，已知 =﹣2，tanB=2 ，b=3．
（1）求a和c的值；
（2）求sin（B﹣C）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =﹣2，

∴ =2，

∴cacosB=2，

∵tanB=2 ，

∴cosB= = ，

∴ac=2

在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，

即a2+c2=13，

∴a=2，c=3，或a=3，c=2，

∵a＞c，

∴a=3，c=2

（2）解：在△ABC中，sinB=cosBtanB= ，

由正弦定理得sinC= = = ，

∵a=b＞c，

∴C為銳角，

∴cosC= = ，

∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC= × + × =

【解析】（1）由tanB=2 得cosB，由知 ﹣2得accosB=2，解得ac，由余弦定理及a＞c，即可解得a，c的值．（2）由（Ⅰ）可求sinB，由正弦定理可求sinC，cosC，利用兩角差的正弦函數公式即可得解．