Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為（x0 ， 2），（x0+ ，﹣2）．
（1）求函數y=f（x）的解析式和單調遞增區間；
（2）若當0≤x≤ 時，方程f（x）﹣m=0有兩個不同的實數根α，β，試討論α+β的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：A=2，

由在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為（x0，2），（x0+ ，﹣2），可得：

=（x0+ ）﹣x0= ，可得：T=π，

∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），

又∵圖象與y軸的交點為（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ= ，

∵|φ|＜ ，可得：φ= ，

∴函數f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+ ）

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

可解得f（x）的單調遞增區間是：[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：如圖所示，在同一坐標系中畫出y=2sin（2x+ ）和y=m（m∈R）的圖象，

由圖可知，當﹣2＜m≤0或1≤m＜2時，直線y=m與曲線有兩個不同的交點，即原方程有兩個不同的實數根，

當﹣2＜m≤0時，兩根和為 ；

當1≤m＜2時，兩根和為

【解析】（1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由圖象與y軸的交點為（0，1）求出φ的值，可得函數的解析式，利用正弦函數的單調性可求單調遞增區間；（2）在同一坐標系中畫出y=2sin（2x+ ）和直線y=m（m∈R）的圖象，結合正弦函數的圖象的特征，數形結合求得實數m的取值范圍和這兩個根的和．